Hasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin
cortes o saltos bruscos. Sin embargo, existen algunas funciones que presentan
algunas discontinuidades, llamadas funciones discontinuas y que estudiaremos en
el tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los límites
en este tipo de funciones.
Consideremos la siguiente representación gráfica de una función
, en la que
existe una discontinuidad cuando
:
notemos que cuando tiende hacia "a" por la derecha de "a" la función tiende a 2, pero cuando tiende hacia "a" por la izquierda de "a", la función tiende hacia 1. |
Escribimos
para indicar que
tiende hacia "a" por la derecha, es decir, tomando valores mayores que "a".
Similarmente
indica que
tiende hacia "a" por la izquierda, o sea, tomando valores menores que "a".
Utilizando ahora la notación de límites, escribimos
y
.
Estos límites reciben
el nombre de límites laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por la
izquierda es 1.
Ejemplo:
Determinaremos los límites en los puntos de discontinuidad de la función
cuya
representación gráfica es la siguiente:
Se tiene
que: y y |
Definición de límites laterales o unilaterales
|
Definición de límite por la derecha |
|
Se dice que si y solo si para cada existe tal que si entonces es el límite por la derecha de en "a". |
Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de , pues es mayor que cero ya que .
|
Definición de límite por la izquierda |
|
Se dice que si y solo si para cada existe tal que si entonces es el límite por la izquierda de en "a". |
Note que la expresión es mayor que cero, pues por lo que .
En adelante determinaremos los límites laterales a partir de
la representación gráfica de una función cuya ecuación se da.
Ejemplo:
Determinar los límites, en los puntos de discontinuidad, de
la función
definida por:
Primero hagamos la gráfica de la función:
El punto de discontinuidad se presenta cuando
Luego:
y
Observe que el límite por la derecha (3), es diferente al
límite por la izquierda (2).
Ejercicio:
Represente la función
definida por
y determine los límites laterales en el punto de
discontinuidad.
Es posible demostrar que para que exista
es necesario y suficiente que los límites laterales existan y sean iguales.
Es decir,
si y solo si
y
Por consiguiente, si
es diferente de
se dice que
no existe.
Ejemplo:
Representemos gráficamente la función definida por:
Como y , entonces
Como
y
,
entonces
no existe.
Ejercicio:
Considere la representación gráfica de la función
definida por:
Determine si existen cada uno de los límites siguientes:
a. | |
b. | |
c. | |
d. | |
e. |