4
Aprendiendo
matemáticas en un ambiente CAS: la génesis de una reflexión sobre la
instrumentación y la dialéctica entre el trabajo técnico y el conceptual*
Michèle Artigue
Université
Paris 7 Denis Diderot & IREM
Resumen
En este artículo presento la génesis de una reflexión acerca de algunas cuestiones relacionadas con la instrumentación, y sobre la dialéctica entre el trabajo conceptual y el trabajo técnico en matemáticas, la cual ha sido inducida por varios años de investigación sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en ambientes CAS. Esta reflexión es meramente personal, y ha madurado progresivamente a través de intercambios y de la colaboración mutua, en Francia, durante los años noventa. Después de una corta introducción, presento brevemente los principales marcos teóricos que hemos desarrollado y utilizado: el enfoque antropológico en didáctica iniciado por Y. Chevallard, y la teoría sobre la instrumentación desarrollada en la ergonomía cognitiva. Estructuro entonces la reflexión alrededor de algunos puntos principales: la inesperada complejidad de la génesis instrumental, las exigencias matemáticas de la instrumentación, el estado de las técnicas instrumentadas, los problemas que se presentan en su conexión con las técnicas de papel y lápiz, y su gestión institucional.
I. Introducción.
El desarrollo de las matemáticas
siempre ha dependido del material y de las herramientas simbólicas disponibles
para el cálculo matemático. Nadie negará
el papel desempeñado por la introducción del sistema decimal, la construcción
de las tablas de logaritmos, la tabulación de las funciones elementales, el
desarrollo de herramientas de cómputo mecánicas y gráficas, etc. Actualmente,
los avances en cómputo están ligados al desarrollo del software matemático;
entre ellos los sistemas de álgebra por computadora (CAS en lo sucesivo)
desempeñan un papel en franco crecimiento. Los matemáticos y los ingenieros
profesionales saben bien que estas nuevas herramientas sofisticadas no se
convierten inmediatamente en instrumentos matemáticos eficientes para el
usuario: su complejidad no facilita el beneficiarse completamente de su
potencial; debido a la parcial inaccesibilidad de su código interno, el control
sobre su uso requiere cierta experiencia. Los profesionales aceptan que hay un
costo que pagar por aprender a utilizar con eficacia este nuevo software.
También saben que estas nuevas herramientas han cambiado progresivamente sus
prácticas matemáticas y, para algunos de ellos, incluso la “problemática” de su
actividad matemática. Actualmente se reconoce el interés y la necesidad de la
investigación ligada al desarrollo de paquetes de software cada vez de mayor
potencia para los cómputos exactos o aproximados, y el cómputo científico, como
un área específica de la investigación matemática, tiene un pleno
reconocimiento.
En el mundo educativo, en cambio, a excepción de los cursos
avanzados y del entrenamiento profesional, la situación contrasta con el
panorama anteriormente descrito. Lo que es fomentado por la enseñanza de las
matemáticas, y especialmente por la enseñanza general de las matemáticas, no es
una práctica matemática eficiente, asistida por las herramientas actuales y de
gran potencia hoy disponibles; es más bien la transmisión de las bases de una
cierta cultura matemática. Los valores de tal cultura son valores sociales y,
como tales, tienen una base estable y sólida que tiende a determinar nuestras
relaciones con y nuestra interpretación del mundo circundante (Abric, 1987).
Fueron establecidos y estabilizados, a lo largo de la historia, en ambientes
pobres en tecnología, e integran lentamente la evolución de las prácticas
matemáticas y las necesidades ligadas a la evolución tecnológica. Lo que en
primer lugar se pide del software y de las herramientas de cómputo es que sean
instrumentos pedagógicos. Deben permitir aprender mejor el contenido y los
valores de las matemáticas que han sido definidos sin tomar en cuenta estas
herramientas. También se les pide que ayuden a luchar contra las prácticas de
enseñanza "inadecuadas" (prácticas de enseñanza excesivamente
orientadas hacia la exposición pura o a hacia el aprendizaje de habilidades
matemáticas), si no es que a superar las dificultades que enfrenta la escuela y
que son inducidas por problemas sociales más generales. En estas condiciones,
es especialmente difícil evitar las trampas ideológicas e implementar de una
manera eficiente las cuestiones referentes a la instrumentación computacional,
a las relaciones entre el aprendizaje técnico y el conceptual, entre las
técnicas de papel/lápiz y las técnicas instrumentadas.
En este texto, quisiera contribuir a la
reflexión en torno a estas cuestiones. Lo haré apoyándome en diversas
investigaciones que conozco perfectamente y que, en mi opinión, constituyen un
sistema coherente que se centra en estas cuestiones. En primer lugar presentaré
los marcos teóricos que dichas investigaciones han utilizado, y que a la vez
han contribuido a desarrollar progresivamente. Enseguida intentaré presentar lo
que considero como las principales contribuciones de estos proyectos de
investigación a las cuestiones referidas. Ciertamente, se trata de una visión
parcial, especialmente por cuanto estas investigaciones se ocupan solamente de
la enseñanza de las matemáticas en secundaria. Espero que tanto la reacción
como el trabajo del grupo permitan discutirla y enriquecerla, así como también
reflexionar sobre su pertinencia en lo que concierne a niveles más avanzados de
la enseñanza.
Por razones de extensión, este texto
solamente presenta las líneas generales de la reflexión; más detalles y
ejemplos están disponibles en las referencias. Algunos ejemplos ilustrativos
también serán incluidos en una versión más larga de este texto, disponible en
la reunión, y serán utilizados en la presentación oral.
El trabajo de investigación al cual me
refiero en este texto es principalmente una investigación francesa realizada
por diversos equipos en París, Rennes y Montpellier, desde 1993 (Artigue,
1997), (Artigue y otros, 1997), (Guin y Delgoulet, 1997), (Guin y Trouche,
1999), (Lagrange, 1999, à paraître), (Trouche, 1997, 2000), (Defouad, 2000). He
estado involucrada personalmente en algunos de estos proyectos, que no pueden
ser considerados como independientes. Ha sido a través de la interacción mutua,
más y más activa a lo largo del tiempo, que nuestra reflexión en torno a las
cuestiones instrumentales ha madurado progresivamente. Por esta razón,
favoreceré a menudo el “nosotros” en lo que sigue. Pero quisiera agregar que la
visión que tengo sobre esta génesis es ciertamente una visión personal, y que
las construcciones y reconstrucciones que presento aquí están bajo mi absoluta
responsabilidad.
II. Un marco teórico para
reflexionar acerca del aprendizaje en ambientes CAS.
La convicción de que un marco teórico específico
era necesario para estructurar la reflexión y la investigación sobre las
cuestiones que son el tema de este grupo de trabajo emergió de una primera
investigación, realizada en los marcos de un proyecto nacional sobre la
integración de los dispositivos CAS en la escuela secundaria y en las clases[1] de
CPGE (Artigue, 1997). Esperábamos que tal marco nos ayudara a superar algunas
trampas de la investigación a las que éramos cada vez más sensibles, siendo la
primera de ellas el corte “técnico-conceptual”. En nuestra opinión, los
enfoques constructivistas, tal como eran utilizados en aquella época (a
principios de los años noventa) en la investigación sobre CAS, y más
generalmente en la investigación educativa ligada a las tecnologías informáticas,
tendían a apoyar en un cierto sentido este corte, y decidimos tomar una cierta
distancia de ellos. Los enfoques antropológicos y socio-culturales nos parecían
más sensibles al papel desempeñado por los instrumentos en la actividad
matemática, y más capaces de rehabilitar el papel del trabajo técnico. Ésta es
la razón por la que dirigimos nuestra atención hacia el enfoque antropológico
desarrollado por Y. Chevallard (Chevallard, 1992), (Bosch y Chevallard, 1999),
un enfoque que está teniendo una influencia creciente en la investigación
didáctica francesa. Este enfoque, por su base institucional, también permitió
que nos distanciáramos de los enfoques cognitivos dominantes en el área, y le
asigna un lugar adecuado a las cuestiones institucionales que nosotros, cada
vez más claramente, reconocíamos como esenciales. Puesto que es obviamente
imposible resumir en algunas líneas el enfoque antropológico, precisaré
solamente los elementos principales necesarios para entender la discusión.
El
enfoque antropológico comparte con los enfoques socio-culturales, cuya
influencia en el campo educativo está aumentando (Sierpinska y Lerman, 1996),
la visión de que los objetos matemáticos no son objetos absolutos, sino
entidades que emergen de las prácticas en el seno de instituciones[2]
dadas.
Estas prácticas o “praxeologías”, como
son llamadas por Chevallard, se describen en términos de las tareas en las
cuales encaja el objeto, en términos de las técnicas usadas para resolver
dichas tareas, y en términos de un discurso que explique y justifique las
técnicas. Y. Chevallard distingue dos niveles en este discurso: el tecnológico
y el teórico, éste último proporcionando una base teórica para el primero. En
este texto, a la palabra “tecnología” se le asigna otro significado. Para
evitar malentendidos, combinaremos estos dos niveles en uno solo, nuevo, el
nivel teórico. La palabra “teórico” se debe tomar así en un sentido más amplio
que el usual.
Analizar la vida de un objeto matemático en una
institución, entender el significado en la institución de “conocer/entender un
objeto matemático”, es identificar las praxeologías que lo ponen en juego. Aquí
un papel esencial es desempeñado por las "técnicas". El término
"técnica" se debe también tomar en un sentido más amplio. Una técnica
es una manera de resolver una tarea y, tan pronto como una vaya más allá del
conjunto de tareas rutinarias, para una institución dada, cada técnica es un
conglomerado complejo de razonamientos y de tareas alternas rutinarias. Las
técnicas no solamente tienen un valor pragmático que les permite que
produzcan resultados, tienen también un valor epistémico, puesto que se
componen en parte de la comprensión de los objetos, y son también una fuente de
nuevas preguntas. Por razón obvia de eficacia, el avance del conocimiento en
una institución requiere de la rutinización de ciertas técnicas. Esta
rutinización es acompañada, a su vez, por un debilitamiento de los discursos
teóricos asociados y por una "naturalización" o
"internalización" del conocimiento asociado que tiende a ser
transparente, a ser considerado como "natural". Una técnica que ha
llegado a ser rutinaria tiende a ser "desmatematizada" para los
diferentes sujetos de la institución. El hecho de que, en el proceso de
convertirse en rutinas, las matemáticas se naturalizan, es importante para
nuestra reflexión, porque en este proceso de naturalización la técnica pierde
su "nobleza matemática" y se convierte en un acto simple. En nuestro
trabajo matemático, lo que finalmente se considera como matemático se reduce a
la punta del iceberg de nuestra actividad matemática real, y esta dramática
reducción influye fuertemente en nuestra visión de las matemáticas, del
aprendizaje de las matemáticas, y de los valores ligados a ellos[3].
El enfoque antropológico que acabamos
de introducir se abre a un mundo complejo cuya economía obedece a leyes
sutiles, que desempeñan un papel esencial en la producción real del
conocimiento matemático, así como en el aprendizaje de las matemáticas. Un
enfoque tradicional constructivista no nos ayuda a sospechar esta complejidad,
mucho menos a estudiarla. Sin embargo, este estudio es esencial porque, según
lo precisado por J. B. Lagrange (Lagrange, por aparecer), es a través de las
prácticas donde el trabajo técnico juega un papel tan decisivo, que uno
construye los objetos matemáticos y las conexiones entre éstos, que luego son
considerados de naturaleza conceptual.
La
evolución tecnológica trastorna esta economía y los equilibrios tradicionales
que existieron entre el trabajo conceptual y el técnico, la interacción
dialéctica entre los objetos[4]
"ostensivos" y "no ostensivos" de la actividad matemática
(Chevallard y Bosch, 1999). La gran reducción en el costo de la ejecución, por
ejemplo, reduce las necesidades de la rutinización que hemos mencionado arriba.
Las técnicas, al ser instrumentadas por la tecnología computacional, cambian, y
este cambio modifica sus valores pragmático y epistémico. Las necesidades
matemáticas de las técnicas también cambian. Nuevas necesidades emergen, ligadas
a la implementación computarizada del conocimiento matemático y a la evolución
asociada de las representaciones semióticas (Balacheff, 1994). Estas
necesidades no se identifican fácilmente si la actividad matemática se asocia
solamente con su parte "noble" (la extremidad del iceberg), si las
necesidades matemáticas del trabajo técnico no son consideradas seriamente. El
enfoque antropológico, como nos parecía, provee un marco adecuado para
cuestionar estos cambios y sus posibles efectos sobre la enseñanza y el
aprendizaje.
Construido con referencia a los ambientes
tradicionales de enseñanza, el enfoque antropológico en didáctica, sin embargo,
no ha desarrollado hasta ahora herramientas suficientemente eficientes para
reflexionar acerca de los procesos de la instrumentación. Es en los trabajos
sobre la ergonomía cognitiva, que adopta también una perspectiva antropológica,
que hemos encontrado un primer acercamiento que apoya nuestra opinión.
(Vérillon y Rabardel, 1995). Los investigadores en este dominio deben, en
efecto, trabajar con el aprendizaje profesional que ocurre en ambientes
tecnológicos complejos, como por ejemplo el entrenamiento de pilotos. Han
desarrollado las herramientas conceptuales adaptadas al estudio de tales tipos
de aprendizaje. La primera contribución reside, sin duda, en la concepción de
la noción misma de instrumento. El instrumento se distingue del objeto, ya sea
material o simbólico, en el cual se basa y para el cual utilizamos el término
"artefacto". Es una entidad mixta, constituida por una parte de un
artefacto y por la otra de los esquemas que lo convierten en un instrumento.
Para un individuo dado el artefacto, en principio, no tiene un valor
instrumental. Se convierte en un instrumento mediante un proceso, o génesis, a
través de la construcción de esquemas personales o, más generalmente, por la
apropiación de esquemas sociales preexistentes. Esta génesis instrumental
funciona en dos direcciones. En la primera dirección, la génesis instrumental
se dirige hacia el artefacto, dotándolo progresivamente de potencialidades, y
transformándolo eventualmente para las aplicaciones específicas; llamamos a
esto la "instrumentalización" del artefacto. En la segunda dirección,
la génesis instrumental se dirige hacia el sujeto, y conduce al desarrollo o a
la apropiación de los esquemas de la acción instrumentada, los que
progresivamente constituyen las técnicas que permiten una respuesta eficaz a
las tareas dadas. Esto último es lo que propiamente se llama
"instrumentación". A efecto de entender, monitorear esta génesis
instrumental, es necesario identificar las restricciones inducidas por el
instrumento; y especialmente con relación al tipo de instrumento al cual nos
referimos aquí, dos clases de restricciones: las "restricciones de comandos"
y las "restricciones de organización[5]".
Éstas resultan de las restricciones "internas" y de
"interfase". Es también necesario, por supuesto, identificar los
nuevos potenciales ofrecidos por el trabajo instrumentado.
Es dentro de esta perspectiva teórica y global que nuestra
investigación está situada. Intentaremos en lo que sigue mostrar cómo esta
investigación ha permitido que progresemos en la reflexión, centrándonos en
algunos puntos específicos:
- la inesperada complejidad de la génesis instrumental,
- las exigencias matemáticas de la instrumentación,
- el estado de las técnicas instrumentadas, los problemas que
emergen de su conexión con las técnicas de papel y lápiz, y su gestión
institucional.
No son, por supuesto, puntos
independientes, incluso si en este texto los separamos para estructurar y
clarificar la presentación.
III. La inesperada complejidad
de la génesis instrumental.
Durante los dos años próximo pasados, hemos
realizado una extensa investigación en el marco de un proyecto nacional. Su
objetivo era el siguiente: identificar los potenciales y las limitaciones de la
investigación y del trabajo innovador existente sobre TICE[6], a
fin de enfocar las cuestiones ligadas a la integración de la tecnología en la
enseñanza de las matemáticas y comprender mejor las dificultades de dicha
integración. Estas dificultades son ahora de hecho persistentes en Francia, a
pesar de la continua ayuda institucional otorgada a la integración por más de
20 años (Lagrange et al., 2000). Esta investigación ha considerado más de 600
publicaciones y producciones en esa área, extendiéndose a partir de
La tesis de L. Trouche se refirió
principalmente a la conceptualización de la noción de límite, en dos ambientes
distintos: calculadoras gráficas, y después calculadoras simbólicas. El autor
ha centrado especialmente su atención en los límites en la vecindad del infinito,
mientras que desarrollaba un diseño de ingeniería didáctica que cubre la
enseñanza del cálculo o del análisis elemental para todo el 12º grado, en el
área de ciencias.
Su investigación, en primer lugar, evidencia la
diversidad de las relaciones instrumentales que los estudiantes desarrollan en
este contexto institucional. Esta diversidad conduce a L. Trouche a introducir
cinco perfiles extremos, que él llama respectivamente: "teórico",
"racionalista", "escolástico[7]",
"artesano", y "experimentador". Estos perfiles se
caracterizan por la clase de recursos que resultan favorecidos por el
estudiante, por el metaconocimiento que tiende a activar, por los modos de
validación que privilegia (Trouche, 2000). El "artesano", por
ejemplo, es caracterizado a lo largo de tres ejes por la triada siguiente:
(calculadora, investigación, acumulación), mientras que el
"racionalista" es caracterizado por la tripleta (papel/lápiz,
inferencia, prueba), y el "teórico" por la terna (referencias,
interpretación, analogía). De acuerdo con su perfil, los estudiantes
desarrollan diversas relaciones con sus calculadoras gráficas y simbólicas. En
(Trouche, 2000), el autor en primer lugar ilustra este punto analizando el
comportamiento diverso de los estudiantes cuando, al inicio del año académico,
se les pide estudiar con su calculadora gráfica el límite, cuando 
, de una función polinómica de grado 4 cuyo término en 
tiene un coeficiente
igual a 0.03. Debido al tamaño pequeño de este coeficiente, la representación
gráfica de la función en ventanas más o menos estándares no es coherente con el
estudio "algebraico" que estos estudiantes pueden teóricamente
producir en esta etapa del año académico. Estas diferencias tienen efectos evidentes
en la génesis instrumental de las calculadoras gráficas, que son las únicas
calculadoras disponibles al principio del año, y después en la génesis
instrumental de las calculadoras simbólicas.
La
investigación de L. Trouche ha permitido identificar los diversos esquemas de
la acción instrumentada que son probables de manifestarse en el trabajo sobre
límites a este nivel de enseñanza. Estos esquemas descansan sobre varios
"teoremas en acción", según la terminología introducida por G.
Vergnaud en la teoría de los campos conceptuales (Vergnaud, 1990), y los
esquemas dominantes evolucionan a lo largo del año para cada tipo de perfil.
Para cada perfil, excepto el "escolástico", el trabajo experimental
muestra, por ejemplo, que la acción instrumentada, iniciada en el ambiente de
calculadoras gráficas, no tiende a reducirse al mero uso del comando limit con su sintaxis específica, cuando las
calculadoras simbólicas llegan a estar disponibles en diciembre[8]:
los esquemas que los estudiantes desarrollan son más sutiles que eso. La
investigación también demuestra que los esquemas locales que se construyen para
ocuparse de tareas muy específicas, por ejemplo: la determinación de límites en
+¥ , interactúa con esquemas más globales, como por
ejemplo el llamado por Trouche "esquema del desvío aproximado". Este
esquema corresponde al acto de usar el comando específico disponible en
La tesis de B. Defouad se refiere al
estudio de la génesis instrumental de la calculadora TI-92, centrándose en una
tarea que se puede considerar como representativa de la introducción al campo
del análisis elemental: el estudio de las variaciones de una función. Una vez
más, esta investigación se sitúa en un contexto experimental más amplio que
cubre el programa completo de matemáticas para el área científica, en el grado
11, donde el análisis comienza a ser enseñado oficialmente. La metodología
usada combina observaciones regulares en el salón de clase, cuestionarios y
tests, y el seguimiento durante todo el año académico de algunos estudiantes
seleccionados en la clase experimental según su sexo, su nivel académico en
matemáticas y su relación personal con la tecnología. En la clase experimental,
a los estudiantes se les proporciona una calculadora TI-92 por un año.
La tarea que consideramos aquí ya no es
una tarea local y este hecho, por supuesto, influye en la génesis instrumental.
Esta investigación, al igual que la anterior, demuestra la complejidad de los
procesos de la instrumentación. La génesis instrumental obedece a una
organización temporal que no refleja la organización temporal de la enseñanza
oficial dedicada a las cuestiones de la variación. Combina una sucesión de
ciclos: "explosión- reducción", e inclusive al final del año
académico sigue siendo frágil. Tiende a favorecer una diversa relación con la
demostración matemática, donde los estudiantes dan más importancia a la
búsqueda de coherencia entre la información que proviene de diferentes
aplicaciones (cómputo simbólico, representaciones gráficas y valores aproximados
asociados obtenidos con comandos de matemáticas en la ventana de gráficas,
tablas de valores numéricos) que a la búsqueda de una argumentación decisiva.
Más concretamente, apoyándose en los
datos recogidos en las entrevistas con los estudiantes seleccionados, donde una
tarea sobre variación les fue propuesta sistemáticamente, e involucraba a una
función que estaba más allá de la frontera del sistema de funciones
razonablemente familiares a los estudiantes en ese entonces, B. Defouad
identifica varias fases en la instrumentación de la variación. Durante la
primera fase, los estudiantes siguen atados a la cultura del estudio de las
funciones y de la variación al que han sido inducidos, en el 10º grado, con las
calculadoras gráficas. Esta cultura es de una naturaleza
numérico-gráfico-algebraica. El uso del cálculo formal, en la aplicación HOME de la
calculadora simbólica, a pesar de su potencial, es marginal. En general, la
pantalla HOME se utiliza solamente para calcular o comprobar el valor de
la derivada. Las gráficas de la función y de su derivada son las herramientas
que los estudiantes privilegian para conjeturar y justificar la variación, si
la presión del contrato didáctico no es demasiado fuerte y si la tarea está más
allá de las rutinarias, que es el caso en la situación de la entrevista.
Durante el primer año de la
experimentación, los estudiantes integraron la aplicación HOME a los
problemas sobre variación muy lentamente, con diferencias evidentes según su
perfil personal. El desarrollo del conocimiento matemático desempeñó un papel
importante en esta apropiación progresiva. En la primera fase, según lo
notamos, incluso aunque los estudiantes eran capaces de utilizar la aplicación HOME para
calcular, descomponer en factores la derivada o encontrar sus puntos nulos,
ellos volvían a la ventana gráfica tan pronto como la situación o los
resultados proporcionados por la calculadora se tornaban más complejos. Por
ejemplo, ellos no estaban conscientes del hecho de que, una vez que una
expresión algebraica que depende de una variable ha sido descompuesta en
factores, uno puede fácilmente encontrar su signo para cualquier valor de la
variable, y de que ello no depende del número de factores. Las estrategias más
económicas del uso de
La génesis instrumental conducirá a una evolución de los
papeles respectivos de las diferentes aplicaciones de la calculadora. Como
mencioné antes, durante la primera fase de esta génesis la aplicación gráfica
juega un papel predominante en la fase exploratoria y de solución; la aplicación
Table desempeña un papel de control; y la aplicación simbólica HOME juega un
papel marginal (cálculo de la derivada, esencialmente). En una segunda fase,
aunque todavía predomina la aplicación gráfica, la aplicación HOME es
involucrada progresivamente para el cómputo de los valores exactos de la
función y de su derivada, el cálculo de los límites, o para comprobar algunos
resultados gráficos, con un papel de apoyo al trabajo gráfico. En una tercera
fase tiene lugar una inversión: la aplicación simbólica se convierte en la
herramienta predominante en el proceso de solución, en conjunto con el trabajo
de papel y lápiz, mientras que la aplicación gráfica se convierte
principalmente en una herramienta heurística, para la anticipación y el
control.
Durante el primer año de la experimentación, nuestra
atención fue atraída por la lentitud y los giros de esta génesis instrumental,
y esto nos condujo a cuestionar el estado de las técnicas instrumentadas en la
clase experimental, y las maneras en que dicho estado habría podido influir en
la génesis observada. Quisiera ahora pasar a este segundo aspecto de la
instrumentación.
IV. Las técnicas
instrumentadas: un estado problemático, inclusive en ambientes experimentales.
En un ambiente CAS, la enseñanza combina dos tipos de técnicas: técnicas de papel y lápiz y técnicas instrumentadas. Cada una de ellas tiene, como precisamos arriba, un valor pragmático y un valor epistémico; en muchos casos, el valor epistémico es el que interesa enseñar tanto si no es que más que el valor pragmático. El estado institucional de las técnicas depende de los valores atribuidos a ellas. Es ciertamente fácil reconocer el valor pragmático de las técnicas instrumentadas, pero puede ser menos fácil determinar su valor epistémico. La inmediatez de los resultados se opone a él en un cierto sentido, pues sabemos perfectamente que, muy a menudo, es a través de los detalles de la manipulación técnica que el valor epistémico de una técnica de papel y lápiz llega a ser evidente. Tomemos un ejemplo muy simple: la técnica de la división euclidiana. Esta técnica tiene un valor epistémico evidente: desempeña un papel fundamental en la demostración de varios teoremas aritméticos, ayuda a los estudiantes a entender su carácter necesario y las conexiones entre estos teoremas. En un nivel más elemental, mediante la iteración del algoritmo de la división, los estudiantes pueden entender muy temprano por qué el desarrollo decimal de un número racional es necesariamente periódico. El uso de una calculadora, que despliega instantáneamente en pantalla el principio de la expansión decimal de cualquier número racional, y que en la mayoría de los casos simples permite que el estudiante conjeture la periodicidad y el período real, ya no tiene el valor epistémico del proceso de papel y lápiz. Más generalmente, el valor epistémico de las manipulaciones instrumentadas no se da enseguida. Esto es algo que requiere ser pensado y reconstruido. En el proceso de enseñanza, tiene que ser establecido con ayuda de situaciones adecuadas. Las experimentaciones que hemos realizado, y las que han sido emprendidas por diversos investigadores en esta área (véase por ejemplo Schneider, 2000; Kendal, Stacey, Pierce, por aparecer) proporcionan evidencia de que esto no es trivial, incluso si un análisis detallado de las "evoluciones espontáneas" de los profesores que trabajan en ambientes CAS demuestra que algunas de ellas se pueden interpretar retrospectivamente como intentos en esa dirección. Volveré a este punto más adelante, por cuanto requiere un análisis más profundo.
Lo que simplemente deseo enfatizar en
este párrafo, y es lo que ha sido puesto en evidencia por la tesis de Defouad,
es la dificultad que los profesores encuentran, incluso en ambientes
experimentales, para dar un estado adecuado a las técnicas instrumentadas y
para el manejo de éstas desde un punto de vista institucional. Las
observaciones que realizamos durante el primer año ilustraron este fenómeno,
revelando las distintas vidas que las técnicas de papel y el lápiz y las
técnicas instrumentadas tuvieron en la clase experimental.
Después de una primera fase clásica de exploración y de
trabajo artesanal, algunas técnicas de papel y lápiz llegaron a ser oficiales.
Luego los estudiantes fueron entrenados para utilizarlas en diversos contextos,
provocando un trabajo de rutinización. Un discurso de una naturaleza más
teórica va junto con esta institucionalización de las técnicas oficiales, un
discurso con fines explicativos y justificativos, incluso si los teoremas crucialmente
importantes (como el teorema que liga el signo de la derivada y la variación de
la función) no se demuestran formalmente a este nivel de enseñanza. Las vidas
institucionales de las técnicas instrumentadas emergidas del estudio de la
variación (las técnicas para el ajuste adecuado de las ventanas gráficas, para
encontrar el signo de la derivada, para comprobar la equivalencia de las
expresiones algebraicas,...) no son similares. La calculadora simbólica conduce
a una explosión de posibles técnicas que se
pueden utilizar para resolver cada una de estas tareas: piense por ejemplo en
las diferentes opciones del comando Zoom que se
ofrecen en la aplicación Graph, los diversos esquemas que
uno puede utilizar para determinar el signo de una expresión para un valor dado
de la variable, o para verificar una equivalencia algebraica. Enfrentados con
tal situación, los profesores visiblemente experimentan dificultades y no se
atreven a tomar las decisiones necesarias, como ciertamente lo harían en un
ambiente más tradicional, incluso de manera inconsciente. Inicialmente, ellos
se muestran más inclinados a hacer que sus estudiantes descubran hasta qué
punto pueden hacer que la calculadora enriquezca sus estrategias de resolución,
y esta da lugar a un estancamiento técnico improductivo. Y como la institución educativa no les proporciona ninguna
regla o guía para tomar las decisiones, son menos sensibles a la necesidad de
hacer alguna elección, y no están en condiciones de hacerlo de una manera
racional. Esto lleva a una explosión de técnicas que, por las mismas razones,
permanecen en un nivel relativamente manual, lo que constituye un obstáculo
didáctico para la construcción progresiva de la actividad matemática
instrumentada de una manera eficaz.
Otra diferencia se agrega a las
precedentes. Cualquier técnica, si tiene que convertirse en algo más que un
gesto aprendido mecánicamente, requiere de algún discurso teórico. Los tipos de
discurso que pueden desarrollarse son bien conocidos para el caso de las
técnicas oficiales de papel y lápiz; es
más, ellos están contenidos en el programa de estudios, los libros de texto, y
otros recursos educativos. Para el caso de las técnicas instrumentadas, el
discurso teórico tiene que ser construido. Una vez más las dificultades son obvias,
pues este discurso reclamará por un conocimiento que va más allá de la cultura
matemática promedio. Necesariamente entrelazará el conocimiento matemático
estándar, el conocimiento sobre el artefacto, y el conocimiento sobre la
transposición a la computadora del conocimiento matemático. Por ejemplo, el
conocimiento que subyace a la asimilación de las técnicas para el ajuste de la
ventana en la aplicación gráfica implica conocimiento matemático acerca de los
procesos de discretización y sus posibles efectos, así como también de un
conocimiento más específico sobre la manera de implementar estos procesos de
discretización en el artefacto. El conocimiento que subyace a la asimilación de
la equivalencia algebraica incluye algún conocimiento sobre los principios que
rigen la representación de las expresiones algebraicas y numéricas en el
software CAS, sobre problemas tales como
la existencia de formas canónicas o normales, sobre la distinción entre la
equivalencia semántica y la sintáctica. Según lo enfatizado por B. Defouad, es
a menudo difícil, si no imposible, tener acceso a la información acerca de las
particularidades del artefacto. Este hecho lo condujo a refinar las tipologías
de las restricciones introducidas previamente por Balacheff y Trouche, considerando
cuatro diversos niveles de accesibilidad de la información, desde la
información inmediatamente accesible en la interfaz del artefacto a la
información totalmente inaccesible al usuario. Y él demostró que, muy a menudo,
el discurso teórico necesario para un control razonable de las técnicas
instrumentadas desarrolladas por los estudiantes requiere de información
situada en el tercer nivel.
Bajo estas condiciones, no es difícil
suponer que la construcción de un discurso teórico que sea relevante para las
técnicas instrumentadas dadas y que esté bien adaptado al estado cognitivo de
los estudiantes no es una tarea trivial. Un análisis a posteriori de las
observaciones hechas en el salón de clase durante el primer año de la
experimentación confirmó esta conjetura. El discurso teórico desarrollado sobre
las técnicas instrumentadas había sido más bien pobre, episódico y carente de
una estructura clara. No fue claramente incorporado al proceso de
institucionalización, que esencialmente se ocupó del conocimiento relevante
para el trabajo matemático con papel y lápiz. Estas características no ayudaron
a las técnicas instrumentadas a conseguir un estatuto matemático, y tendieron a
reducir su valor epistemológico. Incluso cuando fueron completamente legitimadas,
mantuvieron un tipo de estado intermedio dentro de la cultura del salón de
clase, y B. Defouad introdujo la noción "de técnicas localmente
oficiales" para dar cuenta de este fenómeno.
Al principio no fuimos sensibles a
estas diferencias. Nuestra atención en primer lugar fue atraída por la dinámica
de esta "explosión–reducción", por el tiempo necesario para alcanzar
un estado razonable de estabilidad, y por el carácter personal de estas
dinámicas. Después, el análisis de los datos recogidos durante las observaciones
en el aula nos permitió identificar las diferencias en el estatus y en el
manejo de las que hemos hablado, y nos llevó a construir la interpretación que
he articulado más arriba. Este análisis e interpretaciones fueron reinsertados
en el diseño del trabajo de ingeniería en el segundo año experimental. El
profesor, ahora sensible a estas dificultades, intentó enfrentarlos y, por
nuestra parte, le ayudamos a construir formas adaptadas de explicación,
justificación e institucionalización para las técnicas instrumentadas que
seleccionó, con el fin de privilegiarlas y darles un estatus oficial en la
clase. En el diseño, también prestamos mayor atención a la necesaria evolución
del contrato didáctico con respecto a las técnicas instrumentadas, a lo largo
del año académico, tomando en cuenta tanto la evolución de la instrumentación
como del conocimiento matemático. Esta estrategia tuvo resultados muy positivos
en términos de la génesis instrumental. Para los estudiantes, ello corresponde
a una ganancia de aproximadamente tres meses si comparamos, por ejemplo, el
comportamiento observado durante las entrevistas.
V. Las exigencias matemáticas
de la instrumentación y el valor epistémico de las técnicas instrumentadas.
He introducido anteriormente una distinción entre el valor pragmático y valor epistémico de las técnicas. También he precisado las exigencias matemáticas de una instrumentación eficiente. Estas exigencias incluyen una componente que no ha sido tomada en cuenta por la enseñanza tradicional de las matemáticas, diseñada con el fin de posibilitar el aprendizaje en ambientes estándares. Para aclarar este punto, volveré a tratar solamente dos cuestiones anteriormente mencionadas: la cuestión del ajuste de la ventana gráfica y la equivalencia algebraica.
El dominio de las técnicas de representación
gráfica asociadas al estudio de las funciones reales, en un ambiente de papel y
lápiz, no obliga al estudiante a entender los procesos de discretización y sus
posibles efectos ligados al manejo de la representación de funciones en una
computadora. Para comprobar esta aserción, es suficiente proponer a estudiantes
avanzados en matemáticas, o a profesores que no estén familiarizados con las
gráficas por computadora, situaciones tales como las que se han desarrollado en
el IREM de Montpellier (Trouche, 1994), por ejemplo la siguiente: a los
estudiantes se les presentan diferentes representaciones gráficas de la función
real 
definida como 
para 
positivo y 
. Algunas de las gráficas tienen demasiadas oscilaciones de
amplitud decreciente, según lo esperado, pero el número de oscilaciones puede
ser muy diferente, dos son estrictamente monótonas, crecientes o decrecientes,
con el eje como asíntota
horizontal, otra es horizontal al eje . Los estudiantes tienen que explicar por qué es posible tal
diversidad de gráficas y encontrar la manera de reproducir fenómenos análogos
en su calculadora personal, y más generalmente, en cualquier clase de
calculadora gráfica.
La cuestión de la equivalencia entre
las expresiones algebraicas es más compleja, ya que está ligada a problemas
teóricos cruciales. Como lo enfatizó A. Kovacs (1999) en un reciente estudio
sobre el álgebra por computadora:
A fin de representar objetos
en un sistema de cómputo algebraico, uno tiene que elegir entre tanto la forma
como el nivel de la estructura de datos. El problema de "cómo representar
un objeto" llega a ser aún más difícil cuando uno observa que algunos
criterios (cantidad de memoria, tiempo real
de cómputo) pueden también desempeñar un papel importante en la
representación (...) Ahora está claro que puede ser mucho más difícil encontrar
una buena estrategia para representar objetos de una manera única que satisfaga
simultáneamente varios criterios. Por lo tanto, en la práctica, un objeto puede
tener varias representaciones diferentes. Esto, sin embargo, da lugar al
problema de detectar la equivalencia cuando se presentan diversas
representaciones del mismo objeto. A su vez, esto conduce a las nociones de
representaciones canónicas y normales y a la simplificación.
Como lo menciona Kovacs en el mismo artículo,
muchos de los objetos manipulados en el cálculo formal no tienen una
representación canónica, ni siquiera una representación normal. Igualdades que
son muy fáciles de probar (a mano), tales como 
, son difíciles de detectar formalmente en los sistemas en
los cuales los números algébricos se representan por medio de polinomios[9]. La
resolución de los problemas que surgen de la manipulación simultánea de varios
números algébricos está en la base de la investigación actual en cálculo
formal.
Incluso si el contexto es más
elemental, el uso de un dispositivo CAS obliga necesariamente a que los
estudiantes se enfrenten a problemas sobre equivalencia y simplificación; los
experimentos concuerdan en este punto. Por una parte, por ejemplo, al
introducir una expresión en
Las exigencias matemáticas que acabamos de evocar son
requerimientos matemáticos ligados a las prácticas instrumentadas en el nivel
de la enseñanza secundaria. Deberíamos agregar las exigencias matemáticas
ligadas a la distinción entre los cómputos exacto y aproximado, pues la
investigación realizada con dispositivos CAS en el nivel secundario evidencia
la importancia del conocimiento correspondiente para el uso controlado de estos
ambientes. En lo que concierne a este punto particular, los experimentos
recientes tienden a mostrar que el uso del dispositivo CAS podría ser, por esa
razón, un medio eficiente para negociar un trabajo matemático fructífero en el
salón de clase. Esta negociación parece más difícil en ambientes más
estándares. Por ejemplo, A. Biribent ha demostrado, en su reciente tesis
doctoral (Biribent, 2001) que, por más de cincuenta años, la enseñanza
secundaria francesa no ha podido hacer frente adecuadamente a estas dos facetas
de los cómputos matemáticos, y que el desarrollo de la tecnológica no ha
mejorado esta situación, hasta ahora.
Aquí hemos mencionado solamente algunas exigencias
matemáticas que los estudiantes secundarios necesariamente encuentran al
trabajar con un dispositivo CAS. En los niveles más avanzados, otras exigencias
se presentarán necesariamente, especialmente aquellas ligadas a la complejidad
y efectividad de los cómputos.
Hasta ahora, me expresé en términos de las exigencias matemáticas,
pero un cambio en nuestro punto de vista permitirá que regresemos a la cuestión
del valor epistémico de las técnicas instrumentadas, y a través de él, a la
cuestión relativa a las relaciones entre el trabajo conceptual y el trabajo
técnico, que es la base de nuestra reflexión. En nuestra investigación, de
hecho, identificamos primeramente lo que habíamos percibido como las exigencias
matemáticas para un trabajo instrumentado eficiente y controlado. Estas
exigencias fueron mucho más allá de las ambiciones de la enseñanza habitual, y
entonces nos preguntamos cómo podrían ser negociadas y satisfechas, en una cultura educativa donde
los valores fueron esencialmente definidos independientemente de la tecnología.
De este modo, nosotros éramos especialmente sensibles a los conflictos entre
los valores que esta situación podría generar. Un cambio de punto de vista era
necesario para analizar estas exigencias en términos del valor epistemológico
de las técnicas instrumentadas.
Anteriormente, en este mismo texto, he
precisado que el valor epistémico de las técnicas instrumentas, es decir, la
manera en que ellas contribuyen a la comprensión de los objetos que pueden
involucrar, no era inmediatamente accesible. A posteriori, tengo la sensación
de que las situaciones que nosotros hemos diseñado, probado y refinado
progresivamente a lo largo de las diversas experimentaciones, y los resultados
que se han obtenido de ellas, serán valiosas al reflexionar sobre este
problema.
Todo ello me ha conducido a identificar
dos fuentes complementarias en lo que el trabajo matemático instrumentado por
un dispositivo CAS puede ofrecer a la conceptualización y, más generalmente, al
progreso del conocimiento matemático:
- una primera
fuente yace en el dominio de las técnicas instrumentadas, lo que
considerábamos como una restricción, al principio;
- una segunda fuente yace en el nuevo potencial ofrecido por el
trabajo instrumentado; esta es una fuente más fácil de identificar y, por
esa razón, está más presente en la literatura sobre el uso de los
dispositivos CAS.
El ejemplo de la equivalencia y de las
simplificaciones algebraicas evocadas es para mí paradigmático del primer caso.
En nuestras experimentaciones, de los grados
El ejemplo relativo al acceso a la
generalización, a través del cómputo simbólico que combina parámetros, me
parece un ejemplo paradigmático de la segunda fuente mencionada arriba, en el
nivel secundario por lo menos. La enseñanza secundaria en Francia trabaja con
objetos matemáticos particulares (ecuaciones, funciones,...) Las situaciones
que involucran parámetros pueden ser consideradas como un primer paso hacia la
generalización, ya que son accesibles en un momento en que el trabajo con
objetos que están definidos por condiciones genéricas no tenga sentido. Estas
situaciones han desaparecido progresivamente de la enseñanza y de los libros de
texto. Los cómputos algebraicos que involucran parámetros parecen estar cada
vez más lejos del alcance de los estudiantes en la enseñanza masiva que ahora
predomina. Las calculadoras gráficas permitieron la introducción de las
familias de objetos funcionales, pero el trabajo matemático completamente
situado en el nivel gráfico. CAS ha permitido la conexión entre el trabajo
gráfico y el trabajo simbólico; ha permitido que los estudiantes prueben de una
manera simbólica las regularidades observadas gráficamente. Esta palanca ha
sido fuertemente utilizada en los diversos diseños de ingeniería didáctica que
hemos desarrollado para los grados 11 y 12 (Lagrange, por aparecer), (Trouche,
1996). Su papel también ha sido
enfatizado en el trabajo de investigación realizado en el Instituto Freudenthal
(Drijvers, 2000), y es interesante notar tal convergencia en las opciones
estratégicas entre dos proyectos de investigación independientes.
Claramente estamos aquí en un registro diferente: lo que
cuenta es el potencial que ofrece CAS para obtener resultados muy rápidamente,
para reconsiderar un cómputo previo substituyendo en él un parámetro por un
valor numérico, y la ayuda que CAS puede ofrecer como asistente para el cómputo
y las pruebas simbólicas a estudiantes cuyo fondo técnico es limitado.
Entender el potencial de CAS para la enseñanza y el
aprendizaje de las matemáticas requiere, en mi opinión, de una reflexión
profunda sobre el posible valor epistémico de las técnicas instrumentadas,
tomando en consideración estas dos facetas, a priori diferentes. El valor
epistémico, por supuesto, no es algo que se puede definir de una manera
absoluta, depende de los contextos cognitivos e institucionales. Del análisis
contextual de este potencial a su realización efectiva hay un largo camino, con
situaciones por construir, probar su viabilidad, tomando en cuenta la conexión
y la competencia entre las técnicas de papel y lápiz y las técnicas
instrumentadas, sin olvidarse de la negociación institucional de las
necesidades matemáticas específicas, una negociación que, inclusive hoy, no es
fácil.
VI. Conclusiones.
En
este artículo, mirando en retrospectiva diferentes proyectos de investigación,
he intentado contar una historia: la historia de una toma de conciencia y de
una comprensión progresivas. Se refiere a la complejidad de las relaciones
entre el trabajo conceptual y el trabajo técnico, y al papel crucial de los
problemas de la instrumentación. También se refiere al hecho de que estos
problemas no pueden ser tratados correctamente sin considerar los contextos
institucionales, las limitaciones que estas instituciones imponen y el
potencial que ofrecen a la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas,
especialmente mediante las normas y los valores que las definen. Hoy, tenemos
la sensación de que podemos plantear las
preguntas en términos más adecuados, tenemos también la sensación de que la
investigación que se ha realizado, hasta ahora, ha permitido que entendamos
mejor:
- las dificultades de una integración eficaz de CAS en la
enseñanza de las matemáticas;
- las razones que podrían explicar el éxito de algunos de nuestros
experimentos y la falla de otros;
- la manera de transmitir a otros el conocimiento que hemos
construido.
Pero estamos ciertamente muy lejos de contar con respuestas
fundamentadas a la multiplicidad de preguntas que han surgido de estos
proyectos de investigación.
Referencias
Abric J.C. (1987). Coopération, compétition et représentations sociales. Editions
del Val, Suisse.
Artigue M. (1997). Le
logiciel DERIVE comme révélateur de phénomènes didactiques liés à l’utilisation
d’environnements informatiques pour l’apprentissage. Educational Studies in
Mathematics, 33/2, 133-169.
Artigue
& al. (1997). Intégration de calculatrices complexes à l’enseignement
des mathématiques. Cahier DIDIREM spécial n°3. IREM
Balacheff
N. (1994). La transposition informatique. Note sur un nouveau problème pour la didactique, in,
M. Artigue & als. (Eds), Vingt ans de Didactique des Mathématiques en
France, p. 364- 370. Grenoble :
Biribent A. (2001). Articulation entre la
calculatrice et l’approximation décimale dans les calculs numériques de
l’enseignement secondaire français. Thèse de doctorat. Université de
Grenoble 1.
Bosch
M. & Chevallard Y. (1999). La sensibilité de l’activité mathématiqueaux ostensifs. Objet d’étude
et problématique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 19/1,
77-124.
Chevallard Y. (1992). Concepts fondamentaux
de la didactique : perspectives apportées par une approche anthropologique. Recherches
en Didactique des Mathématiques, 12/1, 77-111.
Defouad B. (2000). Etude de genèses
instrumentales liées à l’utilisation d’une calculatrice symbolique en classe de
première S. Thèse de doctorat. Université Paris 7.
Drijvers
P. (2000). Students encountering obstacles using CAS. The International
Journal of Computers for Mathematical Learning, 5/3, 189-209.
Guin D. & Delgoulet J. (1997). Etude
des modes d’appropriation de calculatrices graphiques et symboliques dans une
classe de seconde. IREM de Montpellier.
Guin
D. & Trouche L. (1999). The complex process of converting tools into
mathematical instruments : the case of calculators. The International
Journal of Computers for Mathematical Learning, 3(3), 195-227.
Kendal
M., Stacey K., Pierce R. (to appear). New work plans in the classroom.
Kovacs
A. (1999). Computer algebra : impact and perspectives. Nieuw Archief voor
Wiskunde, 17/1, 29-55.
Lagrange
J.B. (1999a). Techniques and concepts in pre-calculus using CAS : a two year
classroom experiment with the TI92. The International Journal for Computer
Algebra in Mathematics Education, 6/2, 143-165.
Lagrange
& al. (2001). A meta study on IC technologies in education. Text to
be presented at PME 25 (
Lagrange
J.B. (to appear). L’intégration des instruments informatiques dans
l’enseignement: une approche par les techniques. Educational Studies in
Mathematics.
Schneider
E. (2000). Teacher experiences with the use of a CAS in a mathematics
classroom. The International Journal for Computer Algebra in Mathematics
Education, 7/2,119-141.
Sierpinska
A. & Lermann S. (1996). Epistemologies of mathematics and mathematics
education, in Bishop & al. (eds), Handbook of Research in Mathematics
Education, p. 827-876, Kluwer academic publishers, Dordrecht.
Trouche
L. (1994). Calculatrices graphiques : la grande illusion. Repères IREM 14,
39-55.
Trouche
L. (1996). Enseigner en terminale S avec des calculatrices graphiques et
formelles. IREM de Montpellier.
Trouche
L. (1997). A propos de l’apprentissage de functions dans un environnement de
calculatrices, étude des rapports entre processus de conceptualisation et
processus d’instrumentation. Thèse de doctorat. Université de Montpellier.
Trouche L. (2000). La parabole du gaucher et
de la casserole à bec verseur: étude des processus d’apprentissage dans un
environnement de calculatrices symboliques. Educational
Studies in Mathematics, 41, 239-264.
Vergnaud G. (1990). La théorie des champs
conceptuels, Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 10/2.3,
133-170.
Vérillon P. & Rabardel P. (1995). Cognition and artifacts: a contribution to the study of thought in
relation to instrumented activity. European Journal of Psychology of
Education, 10/1, 77-101.
.