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La fusión de calculadoras y computadoras: una mirada al futuro de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas con apoyo de tecnología*

 

Bert K. Waits

Franklin W. Demana

The Ohio State University

 

Introducción

Hace diez años las computadoras de escritorio y las calculadoras eran vistas como cosas absolutamente diferentes. Las computadoras eran potentes, costosas, y ejecutaban software sofisticado. Las calculadoras eran baratas y solamente hacían cómputos numéricos elementales. Las calculadoras electrónicas tienen ahora una antigüedad de 25 años, mientras que las computadoras de escritorio cuentan con cerca de 20 años de historia. Las primeras calculadoras electrónicas eran dispositivos simples de cuatro funciones, que solamente hacían aritmética básica, como la calculadora DataMath de Texas Instruments, que costaba  $120 USD en 1972. Pronto fueron seguidas por las  llamadas “calculadoras científicas” o “reglas electrónicas de cálculo”, que hacían cómputos transcendentes sofisticados con una exactitud de 8 a 12 dígitos. La primera calculadora científica fue la HP-35, introducida en 1972 (su costo era de $395 USD). Las primeras computadoras de escritorio eran lentas y tenían poca memoria (¡32K!), pero eran más potentes que las calculadoras  y de hecho apuntaban a lo que estaba por venir. En 1979 la primera hoja de cálculo VisiCalc fue introducida para la PC de Apple II, ¡y repentinamente el mundo tuvo una razón para comprar una computadora de escritorio!.

 

Las calculadoras científicas son muy baratas ahora ($10 a $20 USD) y han cambiado notablemente algo del plan de estudios de matemáticas que se enseña en la mayoría de los países. Por ejemplo, ya no dedicamos valioso tiempo a enseñar  métodos de papel y lápiz para calcular valores de las funciones transcendentes. Ahora se puede dedicar más tiempo a las aplicaciones y la comprensión conceptual de las funciones transcendentes, puesto que el uso de la calculadora científica ha llegado a ser universal. Por muchos años las computadoras de escritorio han seguido siendo costosas y todavía no se utilizan tan extensamente como debieran en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en los colegios y universidades.

 

Hace diez años, las calculadoras dieron un paso gigantesco en su evolución, al agregárseles nueva funcionalidad de software  ROM que antes estaba disponible solamente en las computadoras de escritorio. Éstas fueron las llamadas calculadoras gráficas,  inventadas primeramente por Casio en 1985. Las calculadoras gráficas iniciaron una revolución en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en los Estados Unidos, y también en muchos otros países. Las calculadoras gráficas, relativamente baratas, eran en realidad mini computadoras portátiles con un software de representación gráfica incorporado. Por su bajo costo, facilidad de empleo y portabilidad, las calculadoras gráficas pudieron ser consideradas como computadoras disponibles para todos los estudiantes  [ Demana y Waits, 1992 ].

 

Antes de la aparición de las calculadoras gráficas, los profesores universitarios tenían que depender exclusivamente de computadoras costosas (que generalmente estaban ubicadas en un laboratorio de computadoras aislado) para utilizar la visualización por computadora en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Solamente algunas universidades y colegios de élite podían proporcionar tal experiencia a todos los estudiantes de matemáticas sobre una base regular. Un sistema CAS (sistema de álgebra de computadora), usualmente disponible sólo en computadoras personales costosas, consiste generalmente de tres paquetes de software fundamentales: un software de manipulación simbólica,  uno o más resolutores numéricos, y un graficador por computadora. Las calculadoras gráficas proporcionaban dos de estos paquetes (excepto el software de manipulación simbólica) a un costo mucho menor,  y a menudo en un ambiente de usuario más amigable. La significación pedagógica de las pequeñas, baratas y portátiles calculadoras gráficas para la comunidad de matemáticas no debe ser subestimada. La solución de problemas es hoy un soporte fundamental de los planes de estudio que incorporan a las calculadoras gráficas.

 

Hoy en día, las calculadoras gráficas proporcionan a millones de estudiantes experiencias útiles y emocionantes que enriquecen su aprendizaje de las matemáticas a través de visualizaciones por computadora. Los profesores pueden ahora presentar las ideas, conceptos y aplicaciones de las  matemáticas, tanto en un ambiente simbólico tradicional, como utilizando representaciones numéricas y gráficas generadas por computadora. Nuevos y potentes enfoques para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas han sido posibles gracias a las calculadoras gráficas. Hoy ha quedado firmemente establecido en muchos países que es posible desarrollar un plan de estudios de matemáticas más rico cuando todos los estudiantes tienen acceso a las calculadoras gráficas.

 

Las calculadoras gráficas tienen  un potente software numérico y gráfico incorporado. Sin embargo, carecen de tres aplicaciones de software muy importantes para enriquecer la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, que comúnmente se encuentran disponibles en las computadoras de escritorio, más costosas: los manipuladores simbólicos de computadora, disponibles en la mayoría de los populares sistemas CAS, tales como Maple™ y DERIVE™; el software de geometría interactiva como Cabri™; y las hojas de cálculo. De particular importancia para la reforma del currículo de matemáticas es el uso por parte del estudiante de los manipuladores simbólicos de computadora y del software de geometría interactiva. Era necesario un dispositivo práctico y barato que pusiera este software potente a disposición de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. El siguiente gran salto en la evolución de las calculadoras y computadoras portátiles fue dado por Texas Instruments en 1995.

 

 

Una mirada al futuro: la fusión de calculadoras y computadoras

A finales de 1995 Texas Instruments introdujo la TI-92, una computadora portátil relativamente barata con un sistema simbólico de álgebra por computadora incorporado (que usa los potentes algoritmos de Derive™), y con un paquete de geometría interactiva por computadora (una versión casi completa de Cabri II™). ¡Era cerca de 2 veces más cara que una calculadora gráfica pero probablemente 25 veces más potente! Era, indudablemente, la primer generación de un nuevo tipo de computadoras portátiles de gran potencia para la enseñanza de las matemáticas. Otros fabricantes de calculadoras seguramente desarrollarán productos similares. Estas nuevas herramientas personales de computadora para el estudiante, relativamente baratas y fáciles de utilizar, contienen software muy potente y versátil y realmente representan "una computadora para todos los estudiantes de matemáticas". Estas nuevas herramientas y sus sucesoras cambiarán de manera significativa el plan de estudios de matemáticas del futuro. Nos moveremos desde un enfoque casi exclusivamente centrado en las habilidades de manipulación simbólica de papel y lápiz a un enfoque basado en algunas habilidades de manipulación algebraica de papel y lápiz, y centrado en el desarrollo de las habilidades mentales, del razonamiento y la comprensión, en los conceptos, la solución de problemas, y en las aplicaciones.

 

 

Implementando un enfoque de la enseñanza apoyada por tecnología

Muchos profesores han optado simplemente por evitar el uso del álgebra simbólica y de la geometría interactiva en sus clases de las matemáticas, sencillamente porque no era práctico o posible emplearlas. Una razón era el alto costo de los laboratorios de cómputo, de su mantenimiento, y de las acciones de entrenamiento relacionadas. Aún sigue siendo una barrera importante para la puesta en marcha de una reforma seria  del currículo de matemáticas  la dependencia exclusiva de computadoras de escritorio y de software costoso ubicados en laboratorios o centros de cómputo aislados. En el futuro, computadoras portátiles como la TI-92 y sus sucesoras proporcionarán un laboratorio de cómputo relativamente barato en una maleta, de tal manera que cualquier salón de clase en la universidad pueda convertirse en un laboratorio de cómputo cuando se requiera.

 

 

El ocaso de las habilidades de manipulación algebraica tradicionales de papel y lápiz

En el pasado, la enseñanza tradicional en las matemáticas universitarias de las habilidades de manipulación simbólica (con papel y lápiz) era necesaria porque esos eran los únicos procedimientos disponibles para la manipulación algebraica requerida para "resolver" problemas. Simplemente, éste no es hoy el caso. Ahora los algoritmos de manipulación simbólica de computadora ejecutan los cálculos algebraicos y aritméticos mucho más rápidamente y con una exactitud mucho mejor que la que es posible conseguir con los métodos “tradicionales” de papel y lápiz.

 

Creemos que lo que se necesitará en el futuro es un plan universitario de estudios de matemáticas que tome ventaja de la tecnología informática para apoyar a los estudiantes a avanzar en la comprensión  de las ideas matemáticas, a transformarse en “pensadores poderosos y reflexivos”, en buenos comunicadores y resolutores de problemas. Buscamos un acercamiento equilibrado al uso de la tecnología en el futuro. En el pasado no había ningún equilibrio. En el futuro todavía serán necesarias las habilidades matemáticas mentales (quizá una mayor necesidad que en el pasado), se requerirá de algunas habilidades de manipulación algebraica de papel y lápiz, y ciertamente de habilidades de manipulación simbólica  y de cálculo asistidas por computadora.

 

 

Un nuevo desafío para los profesores universitarios de matemáticas

Nuestra comunidad no puede continuar ignorando el impacto  que podría tener el uso por parte de los estudiantes del álgebra simbólica por computadora y de la geometría interactiva en el plan de estudios de matemáticas. Esta nueva generación de herramientas portátiles de computadora para el estudiante sin duda alguna llegará a ser tan popular como lo son las calculadoras gráficas actualmente. Debemos encarar el hecho de que el álgebra simbólica por computadora y la geometría interactiva son mejores, mucho mejores herramientas que el papel y el lápiz, para ejecutar muchas de las “manipulaciones” asociadas a las matemáticas. Lo que debemos establecer de manera consensuada es cuáles habilidades de papel y lápiz son realmente necesarias.

 

Estas nuevas herramientas se pueden también utilizar para ilustrar de una mejor manera los conceptos y aplicaciones importantes de las matemáticas. Debemos redefinir lo que son las “habilidades básicas” para incluir aquellas destrezas de manipulación algebraica de papel y lápiz que resultan  necesarias para entender el álgebra como un lenguaje para la representación. Ciertas habilidades  tradicionales de papel y lápiz continuarán siendo necesarias para la actividad matemática, como también lo serán las tradicionales habilidades matemáticas mentales. Sin embargo, también debemos estar de acuerdo en  dejar de malgastar grandes porciones de nuestro tiempo enseñando manipulaciones obsoletas de álgebra y de cálculo  con lápiz y papel. Estas habilidades obsoletas de papel y lápiz deben ser identificadas. Debemos determinar cuáles son las habilidades esenciales de cómputo de papel y lápiz. ¡Ése es nuestro desafío para el futuro!

 

 

Ejemplos

Consideremos el caso de un tópico algebraico favorito de cualquier profesor: la factorización de expresiones algebraicas. La descomposición en factores sigue siendo muy importante. Después de todo, el Teorema Fundamental del Álgebra es un teorema sobre descomposición en factores. Este teorema es central para una buena comprensión matemática, al igual que las importantes conexiones que existen entre los factores, las intersecciones de la gráfica con el eje , los ceros de la función, y el comportamiento de la función. La Fig. 1 muestra el resultado de aplicar el comando factor( del dispositivo CAS al polinomio cúbico dado:

 

 

Figura 1. Un ejemplo de factorización mediante CAS

 

 

La verdadera importancia matemática de este resultado no es el procedimiento mismo de descomponer en factores. ¡En cierto sentido, realmente no nos preocupamos de cómo se ejecuta el procedimiento mientras se haga correctamente! Lo que es realmente importante es que los factores (por inspección) nos dan las soluciones a la ecuación "expresión" = 0 y  nos revelan mucha más información sobre el comportamiento de la función polinomial, que la forma no descompuesta en factores. La forma no descompuesta en factores nos da una cierta comprensión global (el polinomio cúbico se comporta como  para  grande), y la intersección con el eje . Sin embargo, la forma descompuesta en factores nos da mucha información sobre el comportamiento local (las intersecciones con el eje  y una cierta idea sobre la existencia y localización de los extremos). También podríamos explorar las conexiones entre los factores, los ceros, y la gráfica del polinomio según lo muestra la Fig. 2.

 

 

Figura 2. Explorando las conexiones.

 

 

Para nosotros es claro que la tecnología CAS relativamente barata cambiará la naturaleza del estilo actual de los “cálculos” en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, de un enfoque casi exclusivamente centrado en la manipulación de símbolos a papel y lápiz a un enfoque más equilibrado, según lo mencionamos anteriormente. Claramente, en el futuro aún necesitaremos de las habilidades apropiadas de cálculo mental, un poco de manipulaciones simbólicas de papel y lápiz y además, creemos, de una gran cantidad de manipulaciones simbólicas asistidas por computadora. Por ejemplo, en el pasado era práctica común en álgebra requerir que todos los cálculos, como “Realizar la operación indicada y simplificarla: ”, fueran ejecutados con métodos de papel y lápiz. En el futuro se reconocerá comúnmente que una herramienta CAS (como la TI-92) o un software CAS como MAPLE™ en una PC proporcionarán el método de cómputo apropiado. En el pasado, tal fue el caso con el cálculo de sin 20.125º usando la interpolación de los datos de una tabla con lápiz y papel, que fue sustituida por una calculadora científica como herramienta. Para la comunidad matemática, negar el cambio inevitable es como esconder nuestras cabezas en la arena.

 

Habrá algunas sorpresas interesantes a lo largo del camino en la medida en que nos movamos hacia un enfoque más balanceado con respecto al uso de tecnología en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Por ejemplo, usando el mismo problema del párrafo anterior, el resultado de introducir el problema en la línea de edición de la calculadora TI-92 y enseguida presionar ENTER es totalmente inesperado (para la mayoría de los estudiantes), como lo muestra la Fig. 3.

 

 

Figura 3. ¡Sorpresa!

 

La TI-92 hizo automáticamente una descomposición en fracciones parciales “que apunta” hacia el Cálculo. Lo que los estudiantes usualmente esperan es lo que se muestra en el segundo panel de la Fig. 3, y que se obtiene usando el comando CAS comDenom(. Algunos incluso pudieran esperar el resultado mostrado en el primer panel de la Fig. 4, que se obtiene usando el comando factor( de álgebra por computadora de la TI-92.

 

 

Figura 4. Algunos comandos CAS en acción.

 

 

Nótese que la factorización exhibida es trivial (racional). Ningún estudiante esperaría el resultado mostrado en el segundo panel de la Fig. 4, que resulta de usar la sintaxis factor(expresión, x) en la misma expresión. Esta sintaxis pide a la TI-92 los factores reales. La moraleja de esta breve excursión es que hay una cuestión de aprendizaje y entendimiento tanto para el estudiante como para el profesor al usar cualquier sistema CAS.

 

Otro ejemplo de “fracción parcial” tomado del Cálculo implica el uso del comando expand( de la TI-92 como un procedimiento de caja negra. La Fig.  5 muestra el resultado de aplicar el comando CAS expand(  a una función racional simple, que difícilmente podría esperarse que alguien fuera capaz de integrar mentalmente. ¡Nótese que ahora es muy fácil integrar el resultado (una descomposición en fracciones parciales), encontrando mentalmente las antiderivadas de cada término a partir de conocimientos básicos de integración!.

 

 

Figura 5. Una descomposición en fracciones parciales y una integración mediante CAS.

 

 

El resultado de aplicar  el comando CAS integrate( antes de la descomposición CAS en fracciones parciales se muestra en el segundo panel de la Fig. 5 solamente para comprobar nuestras habilidades de “integración mental”. Aquí utilizamos el procedimiento de integrar como un procedimiento de caja blanca. Es decir, permitimos el uso de algún tipo de cómputo algebraico, no del Cálculo, como procedimientos de caja negra, mientras que no permitimos ningún procedimiento de integración de tipo caja negra (hasta que sea aprendida la habilidad o el concepto). El principio de  caja blanca/caja negra fue introducido primeramente por el profesor Bruno Buchberger del Instituto de Investigación para el Cómputo Simbólico de Linz, Austria. Este magnífico principio es presentado detalladamente, junto con otros excelentes ejemplos, en el libro de Heugl, Klinger y Lechner (Addison-Wesley Publishing Company, 1996).

 

Creemos que los profesores definitivamente deben continuar enseñando técnicas de factorización,  de descomposición en fracciones parciales, de integración, etcétera, así como qué significan y por qué son útiles. Sin embargo, las herramientas que utilizarán para “factorizar”, “descomponer en fracciones parciales”, “integrar”, etcétera,  incluirán tanto a las herramientas CAS como a las herramientas mentales y de papel y lápiz. Esto significa que los profesores deben enseñar los viejos y cómodos tópicos tradicionales pero que deben emplear mucho menos tiempo en los métodos de papel y lápiz (manipulaciones) y mucho más tiempo en las herramientas CAS y los nuevos temas de matemáticas que resultan posibles con estas herramientas. Nuestra acometida no debe consistir en suprimir los tópicos tradicionales, sino en reducir el tiempo invertido en ellos y cambiar las herramientas empleadas en tales tópicos, así como agregar algo del nuevo contenido de las matemáticas que tales herramientas han hecho posible.

 

 

Un problema sobre la imagen de las matemáticas

La comunidad matemática debe hacer un mejor trabajo para encarar un problema internacional concerniente a la “imagen de las matemáticas". El público asocia a menudo el "hacer matemáticas" solamente con la aritmética mental y de papel y lápiz y con los cómputos y las manipulaciones algebraicas que aprendió en la escuela y la universidad. Necesitamos comunicar de manera convincente al público en general que "hacer matemáticas" en el siglo XXI significa mucho más que "hacer”  las mismas matemáticas del pasado. Las matemáticas universitarias y del colegio en el futuro serán mucho más apoyadas por tecnología, más ricas, interesantes y aplicables que en el pasado.

 

 

Resumen

Las calculadoras con software incorporado de representación gráfica para apoyar la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas cuentan ya con una historia de diez años. Casio inventó y puso en el mercado la primera calculadora gráfica en 1985 y dio comienzo a una revolución al poner una computadora gráfica de gran potencia y utilidad a la disposición de millones de estudiantes de matemáticas. Ciertamente, las calculadoras gráficas de bajo costo han satisfecho nuestro sueño de hacer posible que todos los estudiantes de matemáticas utilicen la visualización por computadora sobre una base regular para las actividades de clase y extra clase,  un sueño que nunca se habría podido hacer realidad con las PC de escritorio en laboratorios o centros de cómputo. Texas Instruments ha producido la primera computadora simbólica portátil y la herramienta interactiva de geometría por computadora de bajo costo, especialmente diseñadas para los estudiantes de matemáticas y de ciencias. Habrá seguramente productos similares de otras compañías de calculadoras en el futuro.

 

Ahora necesitamos ser más específicos y explícitos sobre un asunto polémico. Actualmente estamos en condiciones de no continuar derrochando más tiempo en el salón de clase de matemáticas haciendo todo lo que hacíamos en la ya pasada era de lápiz y papel, y de agregar los muchos tópicos y métodos que nuestros estudiantes necesitarán para el futuro intensamente tecnológico al que harán frente. Tenemos mucho que aprender sobre nuestro futuro currículo de matemáticas y sobre los detalles relativos al cómo conseguiremos llegar a él. Sin embargo, después de estos cortos veinte años sabemos que tanto lo que estamos enseñando como las herramientas que nosotros y nuestros estudiantes estamos utilizando serán en el futuro dramáticamente diferentes de las hoy. Será divertido ser testigos de esta evolución.

 

 

Referencias

Demana, Franklin and Bert K. Waits. "A Computer for All Students." Mathematics Teacher 85 (February 1992): 94-95.

Waits, Bert K. and Franklin Demana. "A Computer for All Students - Revisited". Mathematics Teacher 89 (December 1996): 712-714.

Helmut Heugl, Walter Klinger, and Josef Lechner. Mathematikunterricht mit Computeralgebra-Sytemen: Ein Didaktisches Lehrerbuch mit Erfahrungen aus dem osterrieichischen DERIVE-Projekt. Addison-Wesley: Bonn, Germany, 1996.